命題１５
１つの角に等しい角を持っている等しい三角形において、等しい角のまわりの辺は相互に比例する。そして、１つの角に等しい角を持ち、等しい角のまわりの辺は相互に比例する三角形は等しい。
ABCとADEを１つの角に等しい角をもっている等しい三角形とし、すなわち、角BACは角DABに等しいとせよ。
三角形ABCと三角形ADEにおいて、等しい角のまわりにある辺は相互に比例し、すなわちCAはADに対してEAはABに対すると主張する。
CAをADと一直線になるように置く。
それゆえに、EAもまたABと一直線になる。propositionⅠ．１４
BDを結ぶ。
そのとき、三角形ABCは三角形ADEに等しく、ABDは他の三角形であるので、それゆえに、三角形ABCは三角形ABDに対し、三角形ADEは三角形ABDに対する。propositionⅤ．７
しかし、三角形ABCは三角形ABDに対し、ACはADに対し、また、三角形ADEは三角形ABDに対し、AEはABに対する。propositionⅥ．１
それゆえに、ACはADに対し、AEはABに対する。propositionⅤ．１１
それゆえに、三角形ABCと三角形ADEにおいて等しい角のまわりの辺は相互に比例する。
次に、三角形ABCと三角形ADEの辺を相互に比例し、つまり、AEはABに対して、CAはADに対するとせよ。
三角形ABCは三角形ADEと等しいと主張する。
再び、BDを結べば、ACはADに対し、AEはABに対し、一方で、ACはADに対し、三角形ABCは三角形ABDに対し、また、AEはABに対し、三角形ADEは三角形ABDに対するので、それゆえに、三角形ABCは三角形ABDに対し、三角形ADEは三角形ABDに対する。propositionⅥ．１、propositionⅤ．１１
それゆえに、三角形ABCと三角形ADEのそれぞれは、三角形ABDに対して同じ比をもつ。
それゆえに、三角形ABCは三角形ADEと等しい。propositionⅤ．９
それゆえに、１つの角に等しい角を持っている等しい三角形において、等しい角のまわりの辺は相互に比例する。そして、１つの角に等しい角を持ち、等しい角のまわりの辺は相互に比例する三角形は等しい。
証明終了